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<!DOCTYPE html>

<title>Indexmenge (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Indexmenge (Mathematik)</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> bezeichnet <b>Index</b> (Plural: <b>Indizes</b>) ein <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> einer <b>Indexmenge</b>, das zur Nummerierung unterschiedlichster Objekte herangezogen wird. Oftmals wird als Indexmenge die Menge der <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> verwendet.

</p><p>In den Anfängen der Mathematik der Neuzeit wurde auch ein Funktionswert – <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"></span> in moderner Schreibweise – mittels tiefgestelltem Index <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb36605624ab2287dc5ec558513c625b88acfee3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{x}}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Die Notation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"></span> für die Glieder einer Folge (als Funktion über natürlichen Zahlen) kann als Überbleibsel dieser älteren Schreibweise angesehen werden. Je nach Bedarf können, trotz Verwechslungsgefahr mit der <a href="Potenzrechnung" class="mw-redirect" title="Potenzrechnung">Potenzrechnung</a>, auch hochgestellte Indizes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{i}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42d88a4f462a920efdc8df3c5074ed30015eab12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.029ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{i}}" loading="lazy"></span> vorkommen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Index">Index</h2></div>

<p>Ein Index ist ein Unterscheidungszeichen, das oben oder unten, rechts oder links an ein Zeichen angeheftet wird.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>In der Mathematik steht das Zeichen, an das der Index angeheftet wird, für ein <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematisches Objekt</a> und der Index selbst wird bevorzugt rechts unten an dieses Zeichen notiert. Je nach mathematischem Fachbereich und Fragestellung ist aber auch jede andere Position des Index denkbar.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> wird durch die Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/015b0952d7692676196a169f174c4da26e4f6e91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.561ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}" loading="lazy"></span> beschrieben. Hier ist die Variable <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> ein Summationsindex, in den der Reihe nach die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> eingesetzt werden, der also in einer diskreten Menge von Zahlen, der Indexmenge, variiert.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"></span> einer <a href="Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">⁣⁣Dezimalzahl</a> ergibt sich durch Summierung ihrer Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem <a href="Stellenwertsystem#Stelle_und_Stellenwert" title="Stellenwertsystem">Stellenwert</a> multipliziert werden.</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 10^{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0588302f035bf2ae0875ca82d40c053906c6443c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:15.961ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 10^{i}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl></dd>

<dd>Beispiel:   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 703{,}48=7\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}+4\cdot 10^{-1}+8\cdot 10^{-2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 703{,}48=7\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}+4\cdot 10^{-1}+8\cdot 10^{-2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c81786dc7723f1ae91297e39b1da7619c21d747b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:54.58ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 703{,}48=7\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}+4\cdot 10^{-1}+8\cdot 10^{-2}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<ul><li>Bei <a href="Funktionenschar" class="mw-redirect" title="Funktionenschar">Funktionenscharen</a> werden Scharparameter meist als Index notiert, während die „normalen“ Argumente in die Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden – z. B. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{t}(x).}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{t}(x).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c33e3b86e3597f99ea22ef45784b1adeede54cdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{t}(x).}" loading="lazy"></span></li></ul>

<ul><li>Bei einer <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> werden ihre Komponenten, also die einzelnen Werte in der Matrix, häufig indiziert. Die Komponentendarstellung einer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\times 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\times 3}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddc0d4d6106875f8006be1d898512ca5843bad8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3\times 3}" loading="lazy"></span>-Matrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> lautet beispielsweise</li></ul>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/808e869e40e3c56f375324a87d43ae09a1bf5bdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:24.657ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd>

<dd>Dabei trägt jede Komponente <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy"></span> genau zwei Indizes. Der erste Index gibt an, in welcher Zeile, und der zweite, in welcher Spalte der Matrix die Komponente steht. Sobald nicht beide Indizes aus nur einem Symbol bestehen, setzten viele Autoren ein Komma zwischen sie: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{m+1,n+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{m+1,n+1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8279581c6b9c99af0a772dfe083f5f4625c547ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.549ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{m+1,n+1}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<ul><li>In der Physik, speziell in den <a href="Tensordarstellungen_der_Physik" class="mw-redirect" title="Tensordarstellungen der Physik">Tensordarstellungen der Physik</a>, werden doppelte Indizes zur verkürzten Notation von Summen verwendet. Diese Konvention heißt <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">einsteinsche Summenkonvention</a>.</li></ul>

<ul><li>Bei <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischen Prozessen</a> und <a href="Zeitreihenanalyse" title="Zeitreihenanalyse">Zeitreihen</a> wird der Zeitparameter häufig als Index geschrieben.</li></ul>

<ul><li>Im mathematischen Teilgebiet der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> werden die <a href="Schnitt_(Faserb%C3%BCndel)" title="Schnitt (Faserbündel)">Schnitte</a> eines <a href="Vektorb%C3%BCndel" title="Vektorbündel">Vektorbündels</a> oft in Indexschreibweise bezeichnet, um die Funktionsschreibweise für algebraische Operationen zwischen Fasern verschiedener Bündel über demselben Punkt frei zu haben.</li></ul>

<ul><li>In der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher</a> bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85e21a26e3b4a4db8088ac6d3c5c9fc4afbf947a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.068ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}" loading="lazy"></span> den Ring der um 0 konvergenten Potenzreihen in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Unbestimmten. Der Grund für die Schreibung des Index unten-links ist, dass die Position unten-rechts für Teilmengen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e384792633256704a3d2c8bbe259d25aa78446d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.061ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}" loading="lazy"></span> reserviert ist, in deren Umgebung Funktionen holomorph sein sollen. Man schreibt dann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}_{K}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}_{K}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c21b45a8a039ab0dc16c8f6e8d5e6c12fd724ffb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.762ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}_{K}}" loading="lazy"></span>, so dass man einen linken und einen rechten Index hat. Demnach ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}={}_{n}{\mathcal {O}}_{\{0\}}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}={}_{n}{\mathcal {O}}_{\{0\}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bfbb42417bb1c5569ea58f0571f05a6b9e7351f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.933ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}={}_{n}{\mathcal {O}}_{\{0\}}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<ul><li>In der <a href="Homologische_Algebra" title="Homologische Algebra">homologischen Algebra</a> verwendet man bei Konstruktionen aus <a href="Kettenkomplex" title="Kettenkomplex">Kettenkomplexen</a> untenstehende Indizes, für die entsprechenden Konstruktionen aus <a href="Kokettenkomplex" class="mw-redirect" title="Kokettenkomplex">Kokettenkomplexen</a> verwendet man obenstehende Indizes. Daher bezeichnet man <a href="Homologiegruppe" class="mw-redirect" title="Homologiegruppe">Homologiegruppen</a> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63458b04288bbe116a9a8037dfae0b36b2c639a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{n}}" loading="lazy"></span> und <a href="Kohomologiegruppe" class="mw-redirect" title="Kohomologiegruppe">Kohomologiegruppen</a> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6c813df15dbb76f2e02b3bceb3f16b83a69d9c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.322ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle H^{n}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Indexmenge">Indexmenge</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

<p>Eine <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a>, deren Elemente Elemente einer anderen Menge durchindizieren, wird Indexmenge genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anmerkung">Anmerkung</h3></div>

<p>Eine Indexmenge ist also keine besondere Menge, sondern es kommt vielmehr darauf an, dass man die Elemente der Menge dazu verwendet, andere Objekte zu indizieren. In vielen Fällen wird dazu die Menge der <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> verwendet. Jedoch kann jede Menge, ob mit endlich, abzählbar oder überabzählbar vielen Elementen, als Indexmenge eingesetzt werden und fasst dann mathematische Objekte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\bullet }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\bullet }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ecd30549cf61fdea929f202b677dd673b64b861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.26ex; margin-bottom: -0.412ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\bullet }}" loading="lazy"></span> zu einer <a href="Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40a5e8ea0183a22712202b9d79e0c63caffa08a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}" loading="lazy"></span> zusammen (hier ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"></span> die Indexmenge). Verwendet man als Indexmenge die natürlichen Zahlen, so spricht man anstatt von einer Familie von einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a>. Der Begriff <i>Folge</i> wird auch für Familien verwendet, die mit <a href="Ordinalzahlen" class="mw-redirect" title="Ordinalzahlen">Ordinalzahlen</a> indiziert werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Auswahlfunktion">Auswahlfunktion</h2></div>

<p>In der Mathematik kann der Index mittels der Auswahlfunktion formal als Abbildung von der Indexmenge in die Menge der indizierten Objekte definiert werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_2">Definition</h3></div>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac794f5521dcce89913085a6d566e7cdb615dbb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}" loading="lazy"></span> beliebige <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Mengen</a>, so kann man das <a href="Tupel" title="Tupel">n-Tupel</a>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9cca790655fd95015b4a019b694f390c55a0032.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6041cb619899bcfa55a26ff377e7eb55ffbfdae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.913ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>als Abbildung

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\colon \,\{1,\ldots ,n\}\rightarrow X_{1}\cup \ldots \cup X_{n},\,i\mapsto x(i)=:x_{i}\in X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0996836d66d3c843741443cfb9a8f92fc2877948.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\colon \,\{1,\ldots ,n\}\rightarrow X_{1}\cup \ldots \cup X_{n},\,i\mapsto x(i)=:x_{i}\in X_{i}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>auffassen. Man nennt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> Auswahlfunktion.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</h3></div>

<p>Möchte man sich nicht auf endlich viele Mengen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"></span> beschränken, sondern <a href="Unendlich" class="mw-redirect" title="Unendlich">unendlich</a> (insbesondere überabzählbare) viele betrachten, dann ist die Existenz der soeben definierten Auswahlfunktion nicht klar. Das heißt, es ist bei unendlich großen Indexmengen nicht immer möglich, eine konkrete Darstellung für die Auswahlfunktion zu finden und damit die Existenz dieser zu zeigen. Dass eine solche Auswahlfunktion doch existiert, wird durch das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a> sichergestellt. Jedoch sagt das Axiom nichts über die konkrete Darstellung der Auswahlfunktion.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindex</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Index.html"><i>Index</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/IndexSet.html"><i>Index Set</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite style="font-style:italic">Index</cite>. In: F.A. Brockhaus (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Der neue Brockhaus</cite>. Allbuch in fünf Bänden und einem Atlas. 3. völlig neubearbeitete Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>. Wiesbaden 1962, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>608</span>, <span style="white-space:nowrap">Sp.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Indexmenge+%28Mathematik%29&rft.atitle=Index&rft.btitle=Der+neue+Brockhaus&rft.date=1962&rft.edition=3.+v%C3%B6llig+neubearbeitete&rft.genre=book&rft.pages=608&rft.place=Wiesbaden&rft.volume=2" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Gerd_Fischer_(Mathematiker)" title="Gerd Fischer (Mathematiker)">Gerd Fischer</a>: <i>Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger).</i> 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 38.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>